Հերոնի բանաձևով եռանկյունու մակերեսը: Եռանկյան մակերեսը ըստ Հերոնի բանաձևի 30 հիմք Հերոնի բանաձևին

Դասի ամփոփում

Առարկա: «Հերոնի բանաձևը և եռանկյունի մակերեսի այլ բանաձևեր»:

Դասի տեսակը Նոր գիտելիքների բացահայտման դաս:

Դասարան: 10.

Դասի նպատակները. դասի ընթացքում ապահովել եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու բանաձևերի գիտակցված կրկնությունը, որոնք ուսումնասիրվում են դպրոցական ծրագրում: Ցույց տվեք Հերոնի II բանաձևը իմանալու անհրաժեշտությունը՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված եռանկյան մակերեսի բանաձևը: Ապահովել այս բանաձեւերի գիտակցված յուրացումն ու կիրառումը խնդիրներ լուծելիս:

Առաջադրանքներ.

Ուսումնական: տրամաբանական մտածողության զարգացում, կրթական խնդիրներ ինքնուրույն լուծելու կարողություն. զարգացման հետաքրքրասիրությունուսանողներ, ճանաչողական հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ; ուսանողների ստեղծագործական մտածողության և մաթեմատիկական խոսքի զարգացում.

Ուսումնական: մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրության զարգացում; պայմաններ ստեղծելու համարանհատի հաղորդակցման հմտությունների և կամային որակների ձևավորում.

Ուսումնական: գիտելիքների խորացումիրական թվի րդ մոդուլը; սովորեցնել բնորոշ խնդիրներ լուծելու ունակություն:

Ուսուցման համընդհանուր գործունեություն.

Անձնական: հարգանք անհատի և նրա արժանապատվության նկատմամբ. կայուն ճանաչողական հետաքրքրություն; հավասար հարաբերությունների և փոխադարձ հարգանքի հիման վրա երկխոսություն վարելու կարողություն.

Կարգավորող: դասի գործունեության նպատակներ դնել; նպատակին հասնելու ուղիների պլանավորում; խնդրահարույց իրավիճակում որոշումներ կայացնել բանակցությունների հիման վրա.

Ճանաչողական: Վ տիրապետել խնդիրների լուծման, առաջադրանքների և հաշվարկների կատարման ընդհանուր տեխնիկայի. կատարել առաջադրանքներ՝ հիմնված իրական թվերի մոդուլի հատկությունների օգտագործման վրա:

Հաղորդակցական: Ա պատշաճ կերպով օգտագործել խոսքը սեփական գործունեությունը պլանավորելու և կարգավորելու համար. ձևակերպեք ձեր սեփական կարծիքը.

Տեխնիկական աջակցություն ՝ համակարգիչ, պրոյեկտոր, ինտերակտիվ գրատախտակ։

Դասի կառուցվածքը

Մոտիվացիոն փուլ - 2 րոպե:

Տնային աշխատանք – 1ր.

Առաջարկվող թեմայի վերաբերյալ գիտելիքների թարմացման և առաջին փորձնական գործողության իրականացման փուլը՝ 10 րոպե։

Դժվարությունների բացահայտում. ո՞րն է նոր նյութի բարդությունը, կոնկրետ ինչն է ստեղծում խնդիրը, հակասությունների որոնում – 4ր.

Նախագծի մշակում, դրանց առկա դժվարությունները լուծելու ծրագիր, բազմաթիվ տարբերակների դիտարկում, օպտիմալ լուծման որոնում – 2 րոպե։

Դժվարությունը լուծելու համար ընտրված պլանի իրականացում – 5ր.

Նոր գիտելիքների առաջնային համախմբում - 10 ր.

Անկախ աշխատանք և ստանդարտի հետ ստուգում – 5 րոպե:

Մտորումներ, որոնք ներառում են ուսուցման գործունեության մասին արտացոլում, ինքնավերլուծություն և արտացոլում զգացմունքների և հույզերի մասին – 1 րոպե:

Դասերի ժամանակ.

Մոտիվացիոն փուլ.

Բարև տղերք, նստե՛ք: Այսօր մեր դասը կանցնի հետևյալ պլանով՝ դասի ընթացքում կուսումնասիրենք նոր թեմա. Հերոնի բանաձևը և եռանկյունի մակերեսի այլ բանաձևեր «; Եկեք կրկնենք այն բանաձևերը, որոնք դուք գիտեք. Եկեք սովորենք, թե ինչպես կիրառել այս բանաձևերը խնդիրներ լուծելիս: Այսպիսով, եկեք գործի անցնենք:

Առաջարկվող թեմայի վերաբերյալ գիտելիքների թարմացման և առաջին փորձնական գործողության իրականացման փուլը.

Սլայդ 1.

Գրեք դասի թեման: Նախքան բանաձևերին ուղղակիորեն անցնելը, եկեք հիշենք, թե եռանկյունի մակերեսը հաշվարկելու ինչ բանաձևեր գիտեք:

Սլայդ 2.

Գրեք այս բանաձևերը.

Ի՞նչ բանաձևեր գիտեք եռանկյան մակերեսը հաշվարկելու համար:(աշակերտները հիշում են իրենց սովորած բոլոր բանաձևերը)

Սլայդ 3.

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը: S=աբ. Գրեք բանաձևը

Սլայդ 4.

Ցանկացած եռանկյունու տարածք: S= Ա . ա = , = Գրեք բանաձևը.

Սլայդ 5. Երկու կողմերի վրա հիմնված եռանկյան մակերեսը և նրանց միջև եղած անկյունը:

S=½·ab·sinα. Գրեք բանաձևը.

Այժմ մենք կուսումնասիրենք տարածքը գտնելու նոր բանաձևեր:

Սլայդ 6.

Եռանկյան մակերեսը ներգծված շրջանագծի շառավղով: S= Պ ր. Գրեք բանաձևը.

Սլայդ 7.

Եռանկյան մակերեսը շրջանագծի R-շառավղով:

Գրեք բանաձևը.

Սլայդ 8.

Հերոնի բանաձեւը.

Նախքան ապացուցումը սկսելը, եկեք հիշենք երկրաչափության երկու թեորեմ՝ սինուսների թեորեմը և կոսինուսների թեորեմը:

1. , a=2R; b=2R; c=2R

2., կոγ = .

Սլայդ 9-10

Հերոնի բանաձևի ապացույց. Գրեք բանաձևը.

Սլայդ 11.

Երեք կողմերի վրա հիմնված եռանկյան մակերեսի բանաձևը հայտնաբերվել է Արքիմեդի կողմից մ.թ.ա 3-րդ դարում: Սակայն համապատասխան աշխատանքները մեր օրեր չեն հասել։ Այս բանաձևը պարունակվում է Հերոնի Ալեքսանդրիայի (մ.թ. 1-ին դար) «մետրիկայում» և կոչվում է նրա անունով։ Հերոնին հետաքրքրում էին եռանկյունները, որոնց մակերեսները նույնպես ամբողջ թվեր են: Նման եռանկյունները կոչվում են հերոնյան եռանկյուններ։ Հերոնյան ամենապարզ եռանկյունը եգիպտական ​​եռանկյունն է

Դժվարությունների բացահայտում. որն է նոր նյութի բարդությունը, կոնկրետ ինչն է ստեղծում խնդիրը, հակասությունների որոնում:

Սլայդ 12.

Գտե՛ք տրված կողմերով եռանկյան մակերեսը՝ 4,6,8: Բավարար տեղեկատվություն կա՞ խնդիրը լուծելու համար: Ի՞նչ բանաձև կարող եք օգտագործել այս խնդիրը լուծելու համար:

Նախագծի մշակում, դրանց առկա դժվարությունները լուծելու ծրագիր, բազմաթիվ տարբերակների դիտարկում, օպտիմալ լուծման որոնում։

Այս խնդիրը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով Հերոնի բանաձևը։ Նախ, դուք պետք է գտնեք եռանկյան կիսաշրջագիծը, այնուհետև ստացված արժեքները փոխարինեք բանաձևով:

Դժվարությունը լուծելու համար ընտրված պլանի իրականացում:

Գտնելով p

էջ=(13+14+15)/2=21

էջ- ա=21-13=8

p-b=21-14=7

p-c=21-15=6

S = 21*8*7*6=84

Պատասխանել :84

Առաջադրանք թիվ 2

Գտեք եռանկյան կողմերըABC, եթե եռանկյունների մակերեսըABO, BCO, ACO, որտեղ O-ն ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է, հավասար է 17,65,80 դդ. 2 .

Լուծում:

Ս=17+65+80=162 – գումարի՛ր եռանկյունների մակերեսները: Ըստ բանաձևի

Ս ABO =1/2 ԱԲ* r, ուրեմն 17=1/2ԱԲ* r; 65=1/2ВС* r; 80=1/2 A.C.* r

34/r=AB; 130/r=մ.թ.ա. 160/r=AC

Գտեք p

էջ= (34+130+160)/2=162/ r

(r-a)=162-34=128 (r- գ)=162-160=2

(R- բ)=162-130=32

Հերոնի բանաձեւովՍ=  128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2

Որովհետեւ Ս=162, հետևաբարr =  1152/162=3128/18

Պատասխան. AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.

Նոր գիտելիքների առաջնային համախմբում.

№10(1)

Գտե՛ք տրված կողմերով եռանկյան մակերեսը.

№12

Անկախ աշխատանք և փորձարկում ստանդարտին համապատասխան:

№10.(2)

Տնային աշխատանք . P.83, No.10(3), No15

Արտացոլում, որն իր մեջ ներառում է մտորումներ կրթական գործունեության մասին, ներհայեցում և արտացոլում զգացմունքների և հույզերի վերաբերյալ։

Ի՞նչ բանաձեւեր եք կրկնել այսօր։

Ի՞նչ բանաձևեր սովորեցիք հենց այսօր:

Մաթեմատիկորեն մտածելու ունակություն -մարդու ազնվագույն ունակություններից մեկը։

Իռլանդացի դրամատուրգ Բեռնարդ Շոու

Հերոնի բանաձեւը

Դպրոցական մաթեմատիկայի մեջ շատ տարածված է Հերոնի բանաձևը, որի օգտագործումը թույլ է տալիս հաշվարկել եռանկյունու մակերեսը՝ հիմնվելով նրա երեք կողմերի վրա: Միևնույն ժամանակ, քչերը գիտեն, որ կա շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյունների մակերեսը հաշվարկելու նմանատիպ բանաձև: Այս բանաձեւը կոչվում է Բրահմագուպտայի բանաձեւ։ Նաև քիչ հայտնի է եռանկյան մակերեսը երեք բարձրություններից հաշվարկելու բանաձևը, որի ածանցումը բխում է Հերոնի բանաձևից:

Եռանկյունների մակերեսի հաշվարկ

Թողեք եռանկյունի մեջկողմերը, և . Հետևյալ թեորեմը (Հերոնի բանաձևը) ճիշտ է.

Թեորեմ 1.

Որտեղ.

Ապացույց.Բանաձևը (1) դուրս բերելիս մենք կօգտագործենք հայտնի երկրաչափեր տրիկ բանաձեւեր

, (2)

. (3)

(2) և (3) բանաձևերից մենք ստանում ենք և. Այդ ժամանակվանից

. (4)

Եթե ​​նշենք ապա հավասարությունից (4) հետևում է (1) բանաձևը. Թեորեմն ապացուցված է.

Այժմ դիտարկենք եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու հարցըհաշվի առնելով, որ, որ հայտնի են նրա երեք բարձրությունները, Եվ .

Թեորեմ 2.Տարածքը հաշվարկվում է բանաձևով

. (5)

Ապացույց.Քանի որ, և, այնուհետև

Այս դեպքում (1) բանաձևից մենք ստանում ենք

կամ

Սրանից հետևում է բանաձևը (5). Թեորեմն ապացուցված է.

Քառանկյունների մակերեսի հաշվարկ

Դիտարկենք Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումը քառանկյունների մակերեսը հաշվարկելու դեպքում: Սակայն անհապաղ պետք է նշել, որ նման ընդհանրացում հնարավոր է միայն շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյունների համար։

Թող քառանկյունըունի կողմեր ​​, , եւ .

Եթե քառանկյուն է, շրջանագծի մեջ գրված, ապա 3-րդ թեորեմը (Բրահմագուպտայի բանաձևը) ճշմարիտ է:

Թեորեմ 3.Քառակուսի հաշվարկված բանաձևով

Որտեղ.

Ապացույց.Քառանկյան մեջ գծենք անկյունագիծ և ստացենք երկու եռանկյուն և . Եթե ​​այս եռանկյունների վրա կիրառենք կոսինուսի թեորեմը, որը համարժեք է (3) բանաձևին, ապա կարող ենք գրել.

Քանի որ քառանկյունը մակագրված է շրջանագծի մեջ, նրա հակառակ անկյունների գումարը հավասար է, այսինքն. .

Որովհետև կամ ապա (7)-ից մենք ստանում ենք

Կամ

. (8)

Այդ ժամանակվանից. Այնուամենայնիվ և հետևաբար

Քանի որ , ապա (8) և (9) բանաձևերից հետևում է

Եթե ​​դնեք ապա այստեղից մենք ստանում ենք բանաձևը (6): Թեորեմն ապացուցված է.

Եթե ​​ցիկլային քառանկյուննկարագրված է նաև, ապա բանաձևը (6) զգալիորեն պարզեցված է:

Թեորեմ 4.Մի շրջանով ներգծված և մյուսի շուրջը շրջագծված քառանկյան մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

. (10)

Ապացույց.Քանի որ շրջանագիծը գրված է քառանկյունի մեջ, հավասարությունները պահպանվում են.

Այս դեպքում , , , և բանաձևը (6) հեշտությամբ վերածվում է (10) բանաձևի։ Թեորեմն ապացուցված է.

Եկեք անցնենք երկրաչափության խնդիրների օրինակների դիտարկմանը, որի լուծումն իրականացվում է ապացուցված թեորեմների կիրառման հիման վրա։

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ 1. Գտեք տարածք, եթե .

Լուծում.Քանի որ այստեղից, ապա ըստ Թեորեմ 1-ի մենք ստանում ենք

Պատասխան.

Նշում, եթե եռանկյան կողմերըընդունել իռացիոնալ արժեքներ, ապա հաշվարկելով դրա տարածքըօգտագործելով բանաձևը (1), սովորաբար, անարդյունավետ է. Այս դեպքում նպատակահարմար է ուղղակիորեն կիրառել (2) և (3) բանաձևերը:

Օրինակ 2.Գտեք տարածքը, եթե և .

Լուծում.Հաշվի առնելով (2) և (3) բանաձևերը, մենք ստանում ենք

Այդ ժամանակվանից կամ .

Պատասխան.

Օրինակ 3.Գտեք տարածքը, եթե և .

Լուծում.Քանի որ ,

ապա թեորեմ 2-ից հետևում է, որ.

Պատասխան.

Օրինակ 4.Եռանկյունն ունի կողմեր ​​և . Գտե՛ք և , որտեղ են համապատասխանաբար շրջագծված և ներգծված շրջանագծերի շառավիղները:

Լուծում.Նախ, եկեք հաշվարկենք տարածքը: Քանի որ, ապա (1) բանաձևից մենք ստանում ենք.

Հայտնի է, որ. Ահա թե ինչու .

Օրինակ 5.Գտե՛ք շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյան մակերեսը, եթե , և .

Լուծում.Օրինակի պայմաններից հետևում է, որ. Այնուհետև, համաձայն Թեորեմ 3-ի, մենք ստանում ենք.

Օրինակ 6.Գտե՛ք շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյան մակերեսը, որի կողմերն են , և :

Լուծում.Քանի որ և , հավասարությունը պահպանվում է քառանկյունում: Սակայն հայտնի է, որ նման հավասարության առկայությունը անհրաժեշտ և բավարար պայման է այն բանի համար, որ շրջանագիծը կարող է մակագրվել տրված քառանկյունում։ Այս առումով տարածքը հաշվարկելու համար կարելի է օգտագործել (10) բանաձևը, որից բխում է.

Դպրոցական երկրաչափության խնդիրների լուծման ոլորտում ընդունելության քննություններին անկախ և որակյալ պատրաստվելու համար կարող եք արդյունավետ օգտագործել դասագրքերը., նշված է առաջարկվող գրականության ցանկում:

1. Գոթմեն Է.Գ. Պլանաչափության խնդիրները և դրանց լուծման մեթոդները: – Մ.: Կրթություն, 1996. – 240 էջ.

2. Կուլագին Է.Դ. , Ֆեդին Ս.Ն. Եռանկյան երկրաչափությունը խնդիրներում. – M.: CD «Librocom» / URSS, 2009. – 208 էջ.

3. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու քոլեջների դիմորդների համար / Ed. Մ.Ի. Սկանավի. - Մ.: Խաղաղություն և կրթություն, 2013. – 608 էջ.

4. Սուպրուն Վ.Պ. Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար. դպրոցական ծրագրի լրացուցիչ բաժիններ. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 էջ.

Դեռ ունե՞ք հարցեր:

Ուսուցիչից օգնություն ստանալու համար -.

blog.site-ը, նյութն ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս պարտադիր է սկզբնաղբյուրի հղումը:

Մաթեմատիկորեն մտածելու ունակություն -մարդու ազնվագույն ունակություններից մեկը։

Իռլանդացի դրամատուրգ Բեռնարդ Շոու

Հերոնի բանաձեւը

Դպրոցական մաթեմատիկայի մեջ շատ տարածված է Հերոնի բանաձևը, որի օգտագործումը թույլ է տալիս հաշվարկել եռանկյունու մակերեսը՝ հիմնվելով նրա երեք կողմերի վրա: Միևնույն ժամանակ, քչերը գիտեն, որ կա շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյունների մակերեսը հաշվարկելու նմանատիպ բանաձև: Այս բանաձեւը կոչվում է Բրահմագուպտայի բանաձեւ։ Նաև քիչ հայտնի է եռանկյան մակերեսը երեք բարձրություններից հաշվարկելու բանաձևը, որի ածանցումը բխում է Հերոնի բանաձևից:

Եռանկյունների մակերեսի հաշվարկ

Թողեք եռանկյունի մեջկողմերը, և . Հետևյալ թեորեմը (Հերոնի բանաձևը) ճիշտ է.

Թեորեմ 1.

Որտեղ.

Ապացույց.Բանաձևը (1) դուրս բերելիս մենք կօգտագործենք հայտնի երկրաչափեր տրիկ բանաձեւեր

, (2)

. (3)

(2) և (3) բանաձևերից մենք ստանում ենք և. Այդ ժամանակվանից

. (4)

Եթե ​​նշենք ապա հավասարությունից (4) հետևում է (1) բանաձևը. Թեորեմն ապացուցված է.

Այժմ դիտարկենք եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու հարցըհաշվի առնելով, որ, որ հայտնի են նրա երեք բարձրությունները, Եվ .

Թեորեմ 2.Տարածքը հաշվարկվում է բանաձևով

. (5)

Ապացույց.Քանի որ, և, այնուհետև

Այս դեպքում (1) բանաձևից մենք ստանում ենք

կամ

Սրանից հետևում է բանաձևը (5). Թեորեմն ապացուցված է.

Քառանկյունների մակերեսի հաշվարկ

Դիտարկենք Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումը քառանկյունների մակերեսը հաշվարկելու դեպքում: Սակայն անհապաղ պետք է նշել, որ նման ընդհանրացում հնարավոր է միայն շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյունների համար։

Թող քառանկյունըունի կողմեր ​​, , եւ .

Եթե քառանկյուն է, շրջանագծի մեջ գրված, ապա 3-րդ թեորեմը (Բրահմագուպտայի բանաձևը) ճշմարիտ է:

Թեորեմ 3.Քառակուսի հաշվարկված բանաձևով

Որտեղ.

Ապացույց.Քառանկյան մեջ գծենք անկյունագիծ և ստացենք երկու եռանկյուն և . Եթե ​​այս եռանկյունների վրա կիրառենք կոսինուսի թեորեմը, որը համարժեք է (3) բանաձևին, ապա կարող ենք գրել.

Քանի որ քառանկյունը մակագրված է շրջանագծի մեջ, նրա հակառակ անկյունների գումարը հավասար է, այսինքն. .

Որովհետև կամ ապա (7)-ից մենք ստանում ենք

Կամ

. (8)

Այդ ժամանակվանից. Այնուամենայնիվ և հետևաբար

Քանի որ , ապա (8) և (9) բանաձևերից հետևում է

Եթե ​​դնեք ապա այստեղից մենք ստանում ենք բանաձևը (6): Թեորեմն ապացուցված է.

Եթե ​​ցիկլային քառանկյուննկարագրված է նաև, ապա բանաձևը (6) զգալիորեն պարզեցված է:

Թեորեմ 4.Մի շրջանով ներգծված և մյուսի շուրջը շրջագծված քառանկյան մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

. (10)

Ապացույց.Քանի որ շրջանագիծը գրված է քառանկյունի մեջ, հավասարությունները պահպանվում են.

Այս դեպքում , , , և բանաձևը (6) հեշտությամբ վերածվում է (10) բանաձևի։ Թեորեմն ապացուցված է.

Եկեք անցնենք երկրաչափության խնդիրների օրինակների դիտարկմանը, որի լուծումն իրականացվում է ապացուցված թեորեմների կիրառման հիման վրա։

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ 1. Գտեք տարածք, եթե .

Լուծում.Քանի որ այստեղից, ապա ըստ Թեորեմ 1-ի մենք ստանում ենք

Պատասխան.

Նշում, եթե եռանկյան կողմերըընդունել իռացիոնալ արժեքներ, ապա հաշվարկելով դրա տարածքըօգտագործելով բանաձևը (1), սովորաբար, անարդյունավետ է. Այս դեպքում նպատակահարմար է ուղղակիորեն կիրառել (2) և (3) բանաձևերը:

Օրինակ 2.Գտեք տարածքը, եթե և .

Լուծում.Հաշվի առնելով (2) և (3) բանաձևերը, մենք ստանում ենք

Այդ ժամանակվանից կամ .

Պատասխան.

Օրինակ 3.Գտեք տարածքը, եթե և .

Լուծում.Քանի որ ,

ապա թեորեմ 2-ից հետևում է, որ.

Պատասխան.

Օրինակ 4.Եռանկյունն ունի կողմեր ​​և . Գտե՛ք և , որտեղ են համապատասխանաբար շրջագծված և ներգծված շրջանագծերի շառավիղները:

Լուծում.Նախ, եկեք հաշվարկենք տարածքը: Քանի որ, ապա (1) բանաձևից մենք ստանում ենք.

Հայտնի է, որ. Ահա թե ինչու .

Օրինակ 5.Գտե՛ք շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյան մակերեսը, եթե , և .

Լուծում.Օրինակի պայմաններից հետևում է, որ. Այնուհետև, համաձայն Թեորեմ 3-ի, մենք ստանում ենք.

Օրինակ 6.Գտե՛ք շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյան մակերեսը, որի կողմերն են , և :

Լուծում.Քանի որ և , հավասարությունը պահպանվում է քառանկյունում: Սակայն հայտնի է, որ նման հավասարության առկայությունը անհրաժեշտ և բավարար պայման է այն բանի համար, որ շրջանագիծը կարող է մակագրվել տրված քառանկյունում։ Այս առումով տարածքը հաշվարկելու համար կարելի է օգտագործել (10) բանաձևը, որից բխում է.

Դպրոցական երկրաչափության խնդիրների լուծման ոլորտում ընդունելության քննություններին անկախ և որակյալ պատրաստվելու համար կարող եք արդյունավետ օգտագործել դասագրքերը., նշված է առաջարկվող գրականության ցանկում:

1. Գոթմեն Է.Գ. Պլանաչափության խնդիրները և դրանց լուծման մեթոդները: – Մ.: Կրթություն, 1996. – 240 էջ.

2. Կուլագին Է.Դ. , Ֆեդին Ս.Ն. Եռանկյան երկրաչափությունը խնդիրներում. – M.: CD «Librocom» / URSS, 2009. – 208 էջ.

3. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու քոլեջների դիմորդների համար / Ed. Մ.Ի. Սկանավի. - Մ.: Խաղաղություն և կրթություն, 2013. – 608 էջ.

4. Սուպրուն Վ.Պ. Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար. դպրոցական ծրագրի լրացուցիչ բաժիններ. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 էջ.

Դեռ ունե՞ք հարցեր:

Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Նախնական տեղեկություն

Նախ, եկեք ներկայացնենք այն տեղեկատվությունը և նշումը, որը մեզ ավելի ուշ պետք կգա:

Մենք կդիտարկենք $ABC$ եռանկյունին $A$ և $C$ սուր անկյուններով: Եկեք դրա մեջ նկարենք $BH$ բարձրությունը: Ներկայացնենք հետևյալ նշումը՝ $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(նկ. 1):

Նկար 1.

Եկեք առանց ապացույցի ներկայացնենք եռանկյան մակերեսի թեորեմը։

Թեորեմ 1

Եռանկյան մակերեսը սահմանվում է որպես նրա կողմի երկարության և դրան ձգվող բարձրության արտադրյալի կեսը, այսինքն.

Հերոնի բանաձեւը

Ներկայացնենք և ապացուցենք թեորեմ երեք հայտնի կողմերից եռանկյան մակերեսը գտնելու մասին։ Այս բանաձեւը կոչվում է Հերոնի բանաձեւերը.

Թեորեմ 2

Եկեք մեզ տրվի $a,\ b\ և\ c$ եռանկյան երեք կողմ: Այնուհետև այս եռանկյունու մակերեսը արտահայտվում է հետևյալ կերպ

որտեղ $p$-ը տվյալ եռանկյան կիսաշրջագիծն է։

Ապացույց.

Մենք կօգտագործենք Նկար 1-ում ներկայացված նշումը:

Դիտարկենք $ABH$ եռանկյունը: Պյութագորասի թեորեմի համաձայն մենք ստանում ենք

Ակնհայտ է, որ $HC=AC-AH=b-x$

Դիտարկենք $\CBH$ եռանկյունը: Պյութագորասի թեորեմի համաձայն մենք ստանում ենք

\ \ \

Ստացված երկու գործակիցներից հավասարեցնենք քառակուսի բարձրության արժեքները

\ \ \

Առաջին հավասարությունից մենք գտնում ենք բարձրությունը

\ \ \ \ \ \

Քանի որ կիսաշրջագիծը հավասար է $p=\frac(a+b+c)(2)$, այսինքն՝ $a+b+c=2p$, ապա

\ \ \ \

Թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

Թեորեմն ապացուցված է.

Հերոնի բանաձևի օգտագործմամբ խնդիրների օրինակներ

Օրինակ 1

Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմերն են $3$ սմ, $6$ սմ և $7$ սմ։

Լուծում.

Եկեք նախ գտնենք այս եռանկյան կիսաշրջագիծը

Թեորեմ 2-ով մենք ստանում ենք

Պատասխան.$4\sqrt(5)$:

Հերոնի բանաձեւը Հերոնի բանաձեւը

արտահայտում է տարածքը սեռանկյունի իր երեք կողմերի երկարությամբ Ա, բԵվ Հետև կիսաշրջագծային Ռ = (Ա + բ + Հետ)/2: Հերոն Ալեքսանդրացու անունով։

ՀԵՐՈՆԱՅԻ ԲԱՆԱՁԵՎ

ՀԵՐՈՆԱՅԻ ԲԱՆԱՁԵՎ, արտահայտում է տարածք Սեռանկյունի իր երեք կողմերի երկարությամբ ա, բԵվ գև կիսաշրջագծային Պ = (ա + բ + գ)/2
Հերոն Ալեքսանդրացու անունով։

Հանրագիտարանային բառարան. 2009 .

Տեսեք, թե ինչ է «Հերոնի բանաձեւը» այլ բառարաններում.

Արտահայտում է եռանկյան S մակերեսը նրա երեք կողմերի երկարություններով՝ a, b և c և P = (a + b + c) կիսաշրջագծով/2Անվանված է Հերոն Ալեքսանդրացու անունով... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

Բանաձև, որն արտահայտում է եռանկյան մակերեսը երեք կողմերի միջով: Մասնավորապես, եթե a, b, C-ն եռանկյան կողմերի երկարությունն է, իսկ S-ը՝ նրա մակերեսը, ապա G. f. ունի ձև՝ որտեղ p-ն նշանակում է G եռանկյան կիսաշրջագիծը. f... ...

Բանաձև, որն արտահայտում է եռանկյան մակերեսը a, b, c կողմերի միջով, որտեղ Հերոնի անունով (մ.թ. 1-ին դար), Ա. Բ. Իվանով ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Եռանկյան 5 մակերեսը արտահայտում է a, b և c երեք կողմերի երկարություններով և p = (a + b + c)/2 կիսաշրջագծով: s = քառակուսի: արմատ p(p a) (p b) (p c). Հերոն Ալեքսանդրացու անվան... Բնական պատմություն. Հանրագիտարանային բառարան

- ... Վիքիպեդիա

Թույլ է տալիս հաշվարկել եռանկյան (S) մակերեսը՝ հիմնվելով նրա a, b, c կողմերի վրա, որտեղ p-ը եռանկյան կիսաշրջագիծն է. Ապացույց, որտեղ անկյունը եռանկյուն է... Վիքիպեդիա

Արտահայտում է շրջանագծով ներգծված քառանկյան մակերեսը՝ կախված նրա կողմերի երկարություններից: Եթե ​​ներգծված քառանկյունն ունի կողմերի երկարություններ և կիսաշրջագիծ, ապա դրա մակերեսը ... Վիքիպեդիա

Այս հոդվածում բացակայում են տեղեկատվության աղբյուրների հղումները: Տեղեկատվությունը պետք է ստուգելի լինի, հակառակ դեպքում այն ​​կարող է հարցականի տակ դրվել և ջնջվել: Դուք կարող եք խմբագրել այս հոդվածը, որպեսզի պարունակի հղումներ դեպի հեղինակավոր աղբյուրներ: Այս նշանը... ... Վիքիպեդիա

- (Հերոնոս Ալեքսանդրինուս) (ծննդյան և մահվան տարիներն անհայտ են, հավանաբար 1-ին դար), հին հույն գիտնական, ով աշխատել է Ալեքսանդրիայում։ Աշխատությունների հեղինակ, որտեղ նա համակարգված կերպով ուրվագծել է հին աշխարհի հիմնական ձեռքբերումները կիրառական մեխանիկայի բնագավառում, Վ... ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

Ալեքսանդրյան (Հերոնոս Ալեքսանդրինուս) (ծննդյան և մահվան տարիները անհայտ են, հավանաբար 1-ին դար), հին հույն գիտնական, ով աշխատել է Ալեքսանդրիայում։ Հեղինակ է այն աշխատությունների, որոնցում համակարգված կերպով ուրվագծել է հին աշխարհի հիմնական ձեռքբերումները... ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան